Question

3．已知P為雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1上任一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為A，B，則|PA|•|PB|的值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． $\frac{4}{5}$
• D． 與點(diǎn)P的位置有關(guān)

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），則$\frac{{n}^{2}}{4}$-n²=1，即m²-4n²=4，求出漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再求向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的模，計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)P（m，n），則$\frac{{n}^{2}}{4}$-m²=1，即n²-4m²=4，
由雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1的漸近線方程為y=±2x，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y-n=-\frac{1}{2}（x-m）}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)A（$\frac{2n+m}{5}$，$\frac{4n+2m}{5}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y-n=\frac{1}{2}（x-m）}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)B（$\frac{m-2n}{5}$，$\frac{4n-2m}{5}$）．
$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{2n-4m}{5}$，$\frac{2m-n}{5}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{-4m-2n}{5}$，$\frac{-2m-n}{5}$），
則有|PA|•|PB|=$\frac{\sqrt{（m-2n）^{2}+（4n-2m）^{2}}}{5}•\frac{\sqrt{（-4m-2n）^{2}+（-2m-n）^{2}}}{5}$=$\frac{|2m-n||2m+n|}{5}$=$\frac{4}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法，考查向量的模求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．