Question

11．已知函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），f（4）=0．
（Ⅰ）求m的值，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=a只有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=4代入f（x）的解析式，解方程可得a的值；由絕對(duì)值的意義，討論x的范圍，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）作出f（x）的圖象，考慮直線y=a與曲線有一個(gè)交點(diǎn)情況，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x|m-x|，且f（4）=0．
得4|m-4|=0，解得m=4；                   
故f（x）=x|4-x|，
當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=x²-4x=（x-2）²-4，
對(duì)稱(chēng)軸x=2在區(qū)間[4，+∞）的左邊，
f（x）在[4，+∞）遞增；
當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=x（4-x）=-（x-2）²+4，
可得f（x）在（-∞，2）遞增；在（2，4）遞減．
綜上可得f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，2），（4，+∞）；
遞減區(qū)間（2，4）；
（Ⅱ）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：

由f（x）的圖象可知，
當(dāng)a＜0或a＞4時(shí)，
f（x）的圖象與直線y=a只有一個(gè)交點(diǎn)，
方程f（x）=a只有一個(gè)實(shí)根，
即a的取值范圍是（-∞，0）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及分類(lèi)討論的思想方法，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，屬于中檔題．