Question

3．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前n（n∈N^*）項(xiàng)和為S_n，a₃=3，且λS_n=a_na_n+1，在正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}中，b₁=2λ，b₃=a₁₅+1．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n（n∈N^*）項(xiàng)和為T_n，且c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+1，n為正奇數(shù)}\\{_{n}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，求不等式T_2n＜n²+n+480的解集．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2列方程，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出a₁，a₂得出a_n，計(jì)算b₁，b₃得出公比得出b_n；
（II）求出c_n，根據(jù)分組求和法計(jì)算T_2n，不等式T_2n＜n²+n+480?4ⁿ＜181，⇒n≤3，即可．

解答 解：（1）λS_n=a_na_n+1，a₃=3，∴λa₁=a₁a₂，且λ（a₁+a₂）=a₂a₃，
∴a₂=λ，a₁+a₂=a₃=3，①
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴a₁+a₃=2a₂，即2a₂-a₁=3，②
由①②得a₁=1，a₂=2，∴a_n=n，λ=2，
∴b₁=4，b₃=16，∴{b_n}的公比q=2，∴bn=2n+1；
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+1，n為正奇數(shù)}\\{_{n}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴T_2n=（a₁+a₃+…a_2n-1+n）+（b₂+b₄+…+b_2n）=n²+n+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=${n}^{2}+n+\frac{8}{3}（{4}^{n}-1）$．
不等式T_2n＜n²+n+480?4ⁿ＜181，⇒n≤3，
又∈N⁺，∴不等式T_2n＜n²+n+480的解集為{1，2，3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，分組法數(shù)列求和，屬于中檔題