Question

已知函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a及函數(shù)f（x）的值域；
（2）關(guān)于x的不等式t•f（x）≤2^x+2對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）附加題：當(dāng)x、y＞0時(shí)，求證f（

x+y

2

）≥

f(x)+f(y)

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由定義在實(shí)數(shù)上的奇函數(shù)有f（0）=0列式求得a的值，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）由x得范圍對(duì)x分類，然后利用分離參數(shù)法求得實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）要證明當(dāng)x、y＞0時(shí)，f（

x+y

2

）≥

f(x)+f(y)

2

，即證明函數(shù)f（x）為上凸增函數(shù)，借助于二次求導(dǎo)可得答案．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=1-

4

2+a

=0，解得a=2，
∴f(x)=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，-1＜1-

2

2x+1

＜1，
則f（x）∈（-1，1）；
（2）解：由（1）得f（x）=

2x-1

2x+1

，
關(guān)于x的不等式t•f（x）≤2^x+2對(duì)任意x∈R恒成立，
當(dāng)f（x）=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都成立；
當(dāng)f（x）∈（0，1），即x∈（0，+∞）時(shí)，
則等價(jià)于t≤

2x+2

f(x)

=

(2x+2)(2x+1)

2x-1

=

(2x-1+3)(2x-1+2)

2x-1

．
令m=2^x-1，則m＞0，
即t≤m+

6

m

+5．
∵m+

6

m

+5≥2

m• 6 m

+5=2

6

+5（當(dāng)且僅當(dāng)m=

6

時(shí)取等號(hào)）．
∴t≤2

6

+5；
當(dāng)f（x）∈（-1，0），即x∈（-∞，0）時(shí)，
則等價(jià)于t≥

2x+2

f(x)

=

(2x+2)(2x+1)

2x-1

=

(2x-1+3)(2x-1+2)

2x-1

．
令m=2^x-1，則-1＜m＜0，
即t≥m+

6

m

+5．
∵m+

6

m

+5＜-2．
t≥-2．
綜上，所求的t范圍是：-2≤t≤2

6

+5；
（3）證明：由（1）得f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵f′(x)=(1-

2

2x+1

)′=

2•2xln2

(2x+1)2

＞0，
∴f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
又[f′（x）]′=

2•ln22•2x(2x+1)2-4•ln22•22x(2x+1)

(2x+1)4

=

2ln22•2x(2x+1)(1-2x)

(2x+1)4

＜0（x＞1）．
∴函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

為上凸增函數(shù)，
則f（

x+y

2

）≥

f(x)+f(y)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，不等式恒成立含參數(shù)的取值范圍．考查轉(zhuǎn)化計(jì)算、推理論證，參數(shù)分離的方法與能力，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是壓軸題．