Question

已知函數f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為區(qū)間[-2，2]．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）試討論方程g（x）+m=0解的情況．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）3^a+2=18，a=log

18 3

-2=log

2 3

，代入g（x）式子求解即可．（2）設t=2^x，t∈[

1

4

，4]是單調遞增函數，k（t）=-t²+t，t∈[

1

4

，4]，畫出函數圖象，判斷交點個數的情況，就能夠判斷方程根的個數問題．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，a=log

18 3

-2=log

2 3

，
∵g（x）=3^ax-4^x的定義域為區(qū)間[-2，2]．
∴g（x）=2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]
（2）
k（

1

4

）=

3

16

，k（

1

2

）=

1

4

，k（4）=-12
方程g（x）+m=0，
當-m＞

1

4

，無解，
當-m=

1

4

，或-12≤-m＜

3

16

，一個解，
當

3

16

≤-m＜

1

4

，兩個解．
綜上方程g（x）+m=0解的情況如下：
當m＜-

1

4

，無解，
當m=-

1

4

，或-

3

16

≤m≤12，一個解，
當-

1

4

＜m≤-

3

16

，兩個解．

點評：本題綜合考查了函數的性質，函數的交點，方程的根的問題，運用圖象，單調性解決即可，綜合性較大．