Question

1．設(shè)定義域為R的函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}\;，\;x＞1}\\{1，x=1}\end{array}\\ \frac{1}{1-x}，x＜1\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三個不同的解x₁，x₂，x₃，則${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$的值是（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 做出f（x）的函數(shù)圖象，判斷f（x）=t的解的情況，根據(jù)f²（x）+bf（x）+c=0的解得個數(shù)判斷f（x）的范圍，得出x₁，x₂，x₃．

解答 解：令f（x）=t，做出f（x）的函數(shù)圖象如下：

由圖象可知當(dāng)t=1時，f（x）=t有三解，
當(dāng)0＜t＜1或t＞1時，f（x）=t有兩解，
當(dāng)t≤0時，方程f（x）=t無解．
∵關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三個不同的解x₁，x₂，x₃，
∴f（x）=1，
當(dāng)x＜1時，令$\frac{1}{1-x}$=1解得x=0，
當(dāng)x＞1時，令$\frac{1}{x-1}=1$解得x=2，
當(dāng)x=1時，顯然x=1是f（x）=1的解．
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則x₁=0，x₂=1，x₃=2，
∴${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$=5．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．