Question

【題目】已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．

（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；

（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得焦點坐標，設(shè)，運用向量數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合橢圓的范圍，可得所求范圍；

（2）設(shè)，的坐標分別為，，，，運用中點坐標公式和點差法，直線的斜率公式，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可得到所求斜率．

解：（1）時，橢圓，兩個焦點，，，，

設(shè)，可得，即，

，，，，

，

因為，

所以的范圍是；

（2）設(shè)，的坐標分別為，，，，可得，，

則，兩式相減可得，

，即，

故，又設(shè)，，直線，

即直線的方程為，

從而，代入橢圓方程可得，，

由與，聯(lián)立得，

若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點，

所以，即，整理可得，

解得，經(jīng)檢驗滿足題意，

所以當時，四邊形為平行四邊形．