Question

18．已知p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，q：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”．若命題p∧q是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由p且q為真可知p和q為均真，p為不等式恒成立問題，轉化為求函數的最小值問題，q中為二次方程有解問題，轉化為△≥0．由此能求出結果．

解答 解：p：?x∈[1，2]，x²-a≥0，只要（x²-a）_min≥0，x∈[1，2]，
又y=x²-a，x∈[1，2]的最小值為1-a，所以1-a≥0，a≤1．
q：?x∈R，x²+2ax+2-a=0，所以△=4a²-4（2-a）≥0，a≤-2或a≥1，
由p且q為真可知p和q為均真，所以a≤-2或a=1，
∴a的取值范圍是{a|a≤-2或a=1}．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查不等式恒成立問題、求的最小值問題、命題的真假判斷等基礎知識，考查運算求解能力，考查化量與轉化思想，是基礎題．