Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-2|x-1|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）a=3時(shí)，f（x）=|x-3|-2|x-1|，分段討論f（x）的取值范圍，從而求得f（x）的最大值；
（2）由f（x）≥0得|x-a|≥2|x-1|，兩邊平方化簡(jiǎn)得3x²+2（a-4）x+4-a²≤0，
討論a的取值，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-a|-2|x-1|（a∈R），
當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=|x-3|-2|x-1|，
當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=（x-3）-2（x-1）=-x-1≤-4；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f（x）=（3-x）-2（x-1）=-3x+5∈（-4，2）；
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=（3-x）+2（x-1）=x+1≤2；
∴x=1時(shí)，f（x）取得最大值為2；
（2）由f（x）≥0得|x-a|≥2|x-1|，
兩邊平方得：（x-a）²≥4（x-1）²，
即3x²+2（a-4）x+4-a²≤0，
化為（x-（2-a））（3x-（2+a））≤0，
方程對(duì)應(yīng)兩根為2-a，$\frac{2+a}{3}$；
令2-a=$\frac{2+a}{3}$，解得a=1；
∴①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（2-a，$\frac{a+2}{3}$）；
②當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為{x|x=1}；
③當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為（$\frac{a+2}{3}$，2-a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解集與分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．