Question

9．設(shè){a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，滿足a₆=5，a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=3n-11
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若從數(shù)列{a_n}，{b_n+4}中按從小到大的順序取出相同的項構(gòu)成數(shù)列{C_n}，直接寫出數(shù)列{C_n}的通項公式；
（3）記d_n=$\frac{b_n}{a_n}$，是否存在正整數(shù)m，n（m≠n≠5），使得d₅，d_m，d_n成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差為d，通過$a_2^2-a_5^2=a_4^2-a_3^2$，以及a₆=5，求出a₁=-5，d=2，然后求解{a_n}的通項公式．
（2）求出數(shù)列{C_n}，首項為7，公差為6，寫出結(jié)果即可．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使得d₅，d_m，d_n成等差數(shù)列，推出${d_n}=\frac{3n-11}{2n-7}$，利用等差中項，得：2m=13-$\frac{9}{n-2}$，求出m，n的值即可．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，則$a_2^2-a_5^2=a_4^2-a_3^2$，由性質(zhì)得$-3d（a_4^{\;}+a_3^{\;}）=d（a_4^{\;}+a_3^{\;}）$，
因為d≠0，所以$a_4^{\;}+a_3^{\;}=0$，即2a₁+5d=0，又由a₆=5得a₁+5d=5，解得a₁=-5，d=2，
所以{a_n}的通項公式為a_n=2n-7…（5分）
（2）數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=3n-11，{a_n}的通項公式為a_n=2n-7，
所以從數(shù)列{a_n}，{b_n+4}中按從小到大的順序取出相同的項構(gòu)成數(shù)列{C_n}，首項為7，公差為6，
所以C_n=6n+1…（10分）
（3），假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使得d₅，d_m，d_n成等差數(shù)列，則d₅+d_n=2d_m．${d_n}=\frac{3n-11}{2n-7}$
所以$\frac{4}{3}$+$\frac{3n-11}{2n-7}$=$2×\frac{3m-11}{2m-7}$，化簡得：2m=13-$\frac{9}{n-2}$．…（13分）
當(dāng)n-2=-1，即n=1時，m=11，符合題意；當(dāng)n-2=1，即n=3時，m=2，符合題意
當(dāng)n-2=3，即n=5時，m=5（舍去）；      當(dāng)n-2=9，即n=11時，m=6，符合題意．
所以存在正整數(shù)m=11，n=1；m=2，n=3；m=6，n=11
使得b₂，b_m，b_n成等差數(shù)列．…（16分）

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．