Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，s_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求 S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想{a_n}的前n項和 S_n的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件知S₁=a₁=1，S₂=4a₂=$\frac{4}{3}$，S₃=9a₃=$\frac{3}{2}$，S₄=16a₄=$\frac{8}{5}$．
（2）猜想S_n=$\frac{2n}{n+1}$，再用數(shù)學(xué)歸納法對這個猜想加以證明．

解答 解：（1）S₁=a₁=1
由題意知，S₂=4a₂=4（S₂-S₁），
∴S₂=$\frac{4}{3}$，
S₃=9a₃=4（S₃-S₂），
∴S₃=$\frac{3}{2}$
同理得，S₄=$\frac{8}{5}$
（2）由（1）S₁=1=$\frac{2×1}{1+1}$，S₂=$\frac{4}{3}$=$\frac{2×2}{2+1}$，S₃=$\frac{3}{2}$=$\frac{3×2}{3+1}$，S₄=$\frac{8}{5}$=$\frac{4×2}{4+1}$
猜想{a_n}的前n項和 S_n=$\frac{2n}{n+1}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，S₁=1=$\frac{2×1}{1+1}$，故結(jié)論成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
那么當(dāng)n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k=$\frac{2k}{k+1}$+$\frac{{S}_{k+1}}{（k+1）^{2}}$，
∴[1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$]S_k+1=$\frac{2k}{k+1}$，
∴S_k+1=$\frac{2k}{k+1}$•$\frac{（k+1）^{2}}{（k+1）^{2}-1}$=$\frac{2（k+1）}{k+2}$=$\frac{2（k+1）}{（k+1）+1}$
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立
綜上①②知，對n∈N*時，S_n=$\frac{2n}{n+1}$，即{a_n}的前n項和 S_n=$\frac{2n}{n+1}$

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，第（1）問要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第二問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．