Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，離心率為$\frac{5}{3}$，過(guò)原點(diǎn)的l交雙曲線左、右兩支分別于A，B，若|BF₁|-|AF₁|=6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{32}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1$
• D． $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出圖形，由雙曲線的幾何性質(zhì)分析可得|BF₂|=|AF₁|，結(jié)合題意可得|BF₁|-|BF₂|=6，由雙曲線的定義分析可得a=3，結(jié)合雙曲線的離心率可得c的值，進(jìn)而計(jì)算可得b的值，將a、b的值代入雙曲線的方程計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線E的焦點(diǎn)，直線l交雙曲線左、右兩支分別于A，B，
直線l過(guò)原點(diǎn)，則直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有|BF₂|=|AF₁|，
若|BF₁|-|AF₁|=6，則有|BF₁|-|BF₂|=6，
則雙曲線E中，2a=6，即a=3，
又由雙曲線E的離心率為$\frac{5}{3}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
則c=5，
b²=c²-a²=25-9=16；
則雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用雙曲線的對(duì)稱性將|BF₁|-|AF₁|=6轉(zhuǎn)化求出a的值．