Question

在邊長為 a正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD：AB的值．

Answer 1

考點：正弦定理的應用,正弦定理

專題：解三角形

分析：設折疊后A點落在邊BC上改稱P點，設∠BAP=θ，由正弦定理知：

BP

sinBAP

=

AB

sinAPB

．求出BP，在△PBD中，求出x，通過求解θ=15°時，求解

3 a

2+ 3

的最小值，即可得到AD：DB=2

3

-3．

解答： 解：按題意，設折疊后A點落在邊BC上的P點，
顯然A、P兩點關于折線DE對稱，又設∠BAP=θ，
∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設AD=x，∴DP=x．在△ABC中，
∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
由正弦定理知：

BP

sinBAP

=

AB

sinAPB

．∴BP=

asinθ

sin(120°-θ)

在△PBD中，

DP

sinDBP

=

BP

sinBDP

，所以BP=

x•sinθ

sin60°

，從而

asinθ

sin(120°-θ)

=

xsin2θ

sin60°

，
∴x=

asinθ•sin60°

sin2θ•sin(120°-θ)

=

3 a

2sin(60°+2θ)+ 3

．
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，
∴當60°+2θ=90°，即θ=15°時，sin（60°+2θ）=1，
此時x取得最小值

3 a

2+ 3

=(2

3

-3)a，即AD最小，
∴AD：DB=2

3

-3．

點評：本題考查正弦定理的應用，三角形的解法，考查計算能力．