Question

3．設p：f（x）=1+ax，在（0，2]上f（x）≥0恒成立，q函數g（x）=ax-$\frac{a}{x}$+2lnx在其定義域上存在極值．
（1）若p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p為真命題，則a$≥-\frac{1}{x}$，x∈（0，2]恒成立，進而得到得實數a的取值范圍；
（2）如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則命題p與q一真一假，進而得到實數a的取值范圍

解答 解：（1）若p為真命題，則a$≥-\frac{1}{x}$，x∈（0，2]恒成立，所以$a≥（-\frac{1}{x}）_{max}$，即a的取值范圍為[-$\frac{1}{2}，+∞）$
（2）對于q，g′（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+a}{{x}^{2}}$，
若a≥0，g'（x）＞0，g（x）在定義域單調遞增，在其定義域上不存在極值，不符合題意；
若a＜0，則-$\frac{1}{a}$＞0，由△=4-4a²＞0，解得-1＜a＜0，
所以，若q為真命題，則-1＜a＜0，…（8分）
因為“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，所以命題p與q一真一假，
①p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥0或a≤-1}\end{array}\right.$解得a≥0，
②p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{2}}\\{-1＜a＜0}\end{array}\right.$解得-1＜a＜-$\frac{1}{2}$
綜上所述，a的取值范圍為（-1，-$\frac{1}{2}$）∪[0，+∞）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數恒成立問題，利用導數研究函數的極值，復合命題等知識點，難度中檔．