Question

6．某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品．日銷售量x（x∈N^*，x≤40）（百件）與產(chǎn)品銷售價格p（萬元/百件）之間的關(guān)系為p（x）=32-$\frac{16x}{x+2}$，已知生產(chǎn)x（百件）該產(chǎn)品所需的成本C（x）=17x-10（萬元） 
（1）把該產(chǎn)品每天的利潤f（x）表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)：
（2）求當日產(chǎn)量為多少時，生產(chǎn)該產(chǎn)品每天獲得的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）用銷售額減去成本即可得出f（x）的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，從而可得出f（x）取得最大值時對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）f（x）=x（32-$\frac{16x}{x+2}$）-（17x-10）=15x-$\frac{16{x}^{2}}{x+2}$+10（x∈N^*，x≤40），
（2）f′（x）=15-$\frac{16{x}^{2}+64x}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-4x+60}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-（x-6）（x+10）}{（x+2）^{2}}$，
∴當0＜x＜6時，f′（x）＞0，當6＜x＜40時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，6]上單調(diào)遞增，在（6，40]上單調(diào)遞減，
∴當x=6時，f（x）取得最大值．
∴當日產(chǎn)量為6百件時，生產(chǎn)該產(chǎn)品每天獲得的利潤最大．

點評 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性與最值的關(guān)系，屬于中檔題．