Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦點(diǎn)是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，直線y=kx+m與拋物線交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)M（2，2）是AB的中點(diǎn)，則△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{14}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線方程的a，b，c，可得右焦點(diǎn)，即為拋物線的焦點(diǎn)，可得拋物線的方程，聯(lián)立直線方程，可得x的二次方程，運(yùn)用判別式大于0以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式求得AB的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得O到AB的距離，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3+1}$=2，
右焦點(diǎn)為（2，0），
則拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（2，0），
即有2=$\frac{p}{2}$，解得p=4，即拋物線方程為y²=8x，
聯(lián)立直線y=kx+m，可得k²x²+（2km-8）x+m²=0，
判別式△=（2km-8）²-4k²m²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{8-2km}{{k}^{2}}$，
點(diǎn)M（2，2）是AB的中點(diǎn)，
可得$\frac{8-2km}{{k}^{2}}$=4，且2=2k+m，
解得k=2，m=-2．滿足判別式大于0．
即有x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
可得弦長(zhǎng)AB=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{15}$，
點(diǎn)O到直線2x-y-2=0的距離d=$\frac{|0-0-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$×2$\sqrt{15}$=2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和弦長(zhǎng)公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及三角形的面積公式的運(yùn)用，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．