Question

2．我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為（　　）日．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

• A． 1.3
• B． 1.5
• C． 2.6
• D． 2.8

Answer 1

分析 設蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列{a_n}，其a₁=3，公比為$\frac{1}{2}$，其前n項和為A_n．莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列{b_n}，其b₁=1，公比為2，其前n項和為B_n．利用等比數(shù)列的前n項和公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列{a_n}，其a₁=3，公比為$\frac{1}{2}$，其前n項和為A_n．莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列{b_n}，其b₁=1，公比為2，其前n項和為B_n．
則A_n=$\frac{3[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$，B_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，令$\frac{3[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
化為：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2ⁿ=6，2ⁿ=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
∴估計2.6日蒲、莞長度相等，
故答案為：C．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．