Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x²-3）e^x，現(xiàn)給出下列結(jié)論：
①f（x）有極小值，但無(wú)最小值②f（x）有極大值，但無(wú)最大值
③若方程f（x）=b恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則b＞6e^-3
④若方程f（x）=b恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則0＜b＜6e^-3
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為②④．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間和極值、最值，作出f（x）的圖象，由圖象可判斷①③錯(cuò)；②④對(duì)．

解答 解：由函數(shù)f（x）=（x²-3）e^x，
可得導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x²+2x-3）e^x，
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞1或x＜-3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞．
作出函數(shù)f（x）的圖象，可得：
f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值-2e；
在x=-3處取得極大值，且為6e^-3，無(wú)最大值．
故①錯(cuò)；②對(duì)；
若方程f（x）=b恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
可得b=-2e或b＞6e^-3，故③錯(cuò)；
若方程f（x）=b恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
可得0＜b＜6e^-3，故④對(duì)．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．