Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c．已知c²=a²+b²-4bccosC，且A-C=$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）求cos（B+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦、余弦定理，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求出cosC的值；
（Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，利用三角恒等變換即可求出cos（B+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，c²=a²+b²-4bccosC，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
∴a=2c，
由正弦定理得sinA=2sinC；
又A-C=$\frac{π}{2}$，
∴sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC，
∴cosC=2sinC＞0；
又sin²C+cos²C=1，
∴$\frac{1}{4}$cos²C+cos²C=1，
解得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）由cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
cos2C=2cos²C-1=2×${（\frac{2\sqrt{5}}{5}）}^{2}$-1=$\frac{3}{5}$；
∴cos（B+$\frac{π}{3}$）=cos[π-（A+C）+$\frac{π}{3}$]
=cos（$\frac{5π}{6}$-2C）
=cos$\frac{5π}{6}$cos2C+sin$\frac{5π}{6}$sin2C
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$
=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦、余弦定理，同角的三角函數(shù)關(guān)系以及三角恒等變換的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．