Question

17．已知函數(shù)y=f（x）（x≠0）是奇函數(shù)，且當x∈（0，+∞）時是增函數(shù)，若f（-1）=0，$f（a-\frac{1}{2}）＜0$，
（1）求f（1）的值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，求f（1）的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，得出具體不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）因為函數(shù)y=f（x）（x≠0）是奇函數(shù)，∴f（-1）=-f（1）=0即f（1）=0；
（2）∵當x∈（0，+∞）時f（x）是增函數(shù)，
∴$f（a-\frac{1}{2}）＜0$可化為$\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＞0}\\{f（a-\frac{1}{2}）＜f（1）}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＜0}\\{f（a-\frac{1}{2}）＜f（-1）}\end{array}}\right.$，
即$0＜a-\frac{1}{2}＜1$或$a-\frac{1}{2}＜-1$，
解得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查奇函數(shù)的定義，考查函數(shù)單調(diào)性的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．