Question

9．已知面積為S的△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=2sinCcosA，3sinB=2sinA，2≤$\frac{1}{2}$c²+$\frac{3}{2}$ac≤18，當(dāng)$\frac{9\sqrt{2}S+16a}{4（c+1）^{2}}$取得最大值時，a的值為2．

Answer 1

分析 將sin（A+C）展開，化簡得sin（A-C）=0，于是a=c．由正弦定理得3b=2a，由余弦定理求出cosB，得出sinB，代入面積公式得出a的值．

解答 解：∵sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA，
∴sinAcosC-sinCcosA=0，即sin（A-C）=0，∴A=C，∴a=c．
∵3sinB=2sinA，∴3b=2a，∴cosB=$\frac{7}{9}$，∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
∵2≤$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$ac≤18，a=c
∴1≤c≤3
$\frac{9\sqrt{2}S+16a}{4（c+1）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}\frac{1}{2}acsinB+16a}{4（c+1）^{2}}$
=$\frac{（c+1）^{2}+2（c+1）-3}{（c+1）^{2}}$=$-\frac{3}{（c+1）^{2}}+\frac{2}{c+1}+1$
設(shè)$\frac{1}{c+1}=t，t∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$，

y=-3t²+2t+1，當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時，y取最大值，此時a=2，
故答案為：2

點評 此題用到了正弦和余弦定理，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值的問題，也可以利用導(dǎo)數(shù)，求最值．