19.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2$\sqrt{3}{cos^2}$x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{3},\frac{π}{3}}]$時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.

分析 (1)利用二倍角,輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期;
(2)當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{3},\frac{π}{3}}]$時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的最大值和最小值.

解答 解:函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2$\sqrt{3}{cos^2}$x.
化簡(jiǎn)可得:f(x)=sin2x+$\sqrt{3}$$+\sqrt{3}$cos2x=2sin(2x+$\frac{π}{3}$)+$\sqrt{3}$
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T=π.
(2)當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{3},\frac{π}{3}}]$時(shí),
那么:2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,π],
則sin(2x+$\frac{π}{3}$)∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為0.
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值為2+$\sqrt{3}$.
∴函數(shù)f (x)的最小值為0,最大值為2$+\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.下列敘述中,正確的個(gè)數(shù)是(  )
①命題P:“?x∈R,x2-2≥0”的否定形式為¬P:“?x∈R,x2-2<0”
②雙曲線上任意一點(diǎn)到左右焦點(diǎn)的距離的差等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)
③“m>n”是“${(\frac{2}{3})^m}>{(\frac{2}{3})^n}$的充分不必要條件;
④命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題為“x≠4,則x2-3x-4≠0”
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1$,且$|{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}|(k>0)$,令$f(k)=\overrightarrow a•\overrightarrow b$.
(1)求$f(k)=\overrightarrow a•\overrightarrow b$(用k表示);
(2)當(dāng)k>0時(shí),$f(k)≥{x^2}-2tx-\frac{5}{2}$對(duì)任意的t∈[-2,2]恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.已知橢圓mx2+ny2=1(n>m>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,則雙曲線mx2-ny2=1的離心率為( 。
A.2B.$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$C.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知命題p:函數(shù)y=x2-4mx+m在[8,+∞)上為增函數(shù);命題q:x2-mx+2m-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,若“p∧q”為假,“p∨q”為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

4.過(guò)點(diǎn)(-1,3),且圓心為(3,0)的圓的方程為(x-3)2+y2=25.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知⊙O:x2+y2=2,⊙M:(x+2)2+(y+2)2=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).
(1)過(guò)點(diǎn)O作⊙M的切線,求該切線的方程;
(2)若點(diǎn)Q是⊙O上一點(diǎn),過(guò)Q作⊙M的切線,切點(diǎn)分別為E,F(xiàn),且∠EQF=$\frac{π}{3}$,求Q點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與⊙O相交于A,B,且直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ),試判斷直線OP與AB是否平行?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.以(a,1)為圓心,且與兩直線x-y+1=0及x-y-3=0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  )
A.x2+(y-1)2=2B.(x-2)2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.(x-2)2+(y-1)2=8

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9.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-1|+a(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>0的解集;
(Ⅱ)若方程f(x)=x只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案