Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-1|+a（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x只有一個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的意義，求得不等式f（x）＞0的解集．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有1個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1時，f（x）=|x+1|-|x-1|+1，
∴當(dāng)x≤-1時，f（x）=-1，解集為∅．
當(dāng)-1＜x＜1時，f（x）=2x+1，由f（x）＞0可解得x$＞-\frac{1}{2}$，于是-$\frac{1}{2}$＜x＜1．
當(dāng)x≥1時，f（x）=3＞0恒成立．
∴不等式f（x）＞0的解集為{x|xx$＞-\frac{1}{2}$}．…（5分）
（Ⅱ）由方程f（x）=x可變形為a=x+|x-1|-|x+1|．
令h（x）=x+|x-1|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＜-1}\\{-x，-1≤x≤1}\\{x-2，x＞1}\end{array}\right.$，
作出圖象如右． …（8分）
于是由題意可得a＜-1或a＞1．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要絕對值的意義，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．