Question

18．設(shè)f（x）=e^t（x-1）-tlnx，（t＞0）
（Ⅰ）若t=1，證明x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；
（Ⅱ）求證：f（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值，判斷即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令$g（x）={e^{t（x-1）}}-\frac{1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 證明：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（ 1分）
若t=1，則f（x）=e^x-1-lnx，${f^'}（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$．         …（2分）
因?yàn)閒′（1）=0，…（3分）
且0＜x＜1時(shí)，${e^{x-1}}＜{e^0}=1＜\frac{1}{x}$，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；…（4分）
x＞1時(shí)，${e^{x-1}}＞{e^0}=1＞\frac{1}{x}$，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；…（5分）
所以x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；                       …（6分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），t＞0.${f^'}（x）=t{e^{t（x-1）}}-\frac{t}{x}=t（{e^{t（x-1）}}-\frac{1}{x}）$；  …（7分）
令$g（x）={e^{t（x-1）}}-\frac{1}{x}$，則${g^'}（x）=t{e^{t（x-1）}}+\frac{1}{x^2}＞0$，故g（x）單調(diào)遞增． …（8分）
又g（1）=0，…（9分）
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）單增，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）單減，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．…（11分）
所以x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．