Question

10．已知函數f（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（Ⅰ）求證：當a=1時，函數y=f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據導函數的符號，求出函數的單調區(qū)間，證明結論即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 （Ⅰ）證明：函數f（x）的定義域是（0，+∞）．         
當a=1時，f（x）=x-2lnx-$\frac{1}{x}$，
函數f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
所以函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增，
所以當a=1時，函數y=f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a+1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
①a≤0時，由f′（x）＞0可得x＞1，
所以函數f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；
②當0＜a＜1時，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，
所以函數f（x）的增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）；
③當a＞1時，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，
所以函數f（x）的增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）；
④當a=1時，
由（Ⅰ）可知函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數y=f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；
當0＜a＜1時，所以函數f（x）的增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）；
當a=1時，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
當a＞1時，所以函數f（x）的增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．