Question

14．已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與（x-2）²+（y-4）²=9相外切，若過(guò)點(diǎn)P（-1，1）的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，弦AB的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 4
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意先求圓心，利用與另外一個(gè)圓相外切，求出半徑，直線與圓相交建立關(guān)系．動(dòng)點(diǎn)考查，求方程．

解答 解：由題意：圓C的圓心在直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)，則圓心為（-1，0），設(shè)半徑為r．
圓C與圓（x-2）²+（y-4）²=9相外切，圓心距等于兩圓半徑之和，∴r+3=5
解得：r=2
所以圓C：（x+1）²+y²=4
P（-1，1）在圓C內(nèi)．
由圓的弦長(zhǎng)性質(zhì)知道，弦長(zhǎng)最短，對(duì)應(yīng)的圓心角最小，
當(dāng)∠ACB最小時(shí)，弦長(zhǎng)最短，過(guò)某點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是與過(guò)該點(diǎn)的直徑垂直．
∵過(guò)P（-1，1）的直徑方程為x=-1，
∴過(guò)P（-1，1）的最短弦方程為y=1，此時(shí)∠ACB最小，弦AB的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓與直線的關(guān)系的運(yùn)用，過(guò)某點(diǎn)的弦長(zhǎng)的性質(zhì)．根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．