Question

2．底面是邊長為1的正方形，側(cè)面是等邊三角形的四棱錐的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}π}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}π}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}π}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{3}$

Answer 1

分析 取點E是正方形ABCD的中心，PE⊥平面ABCD，由題意到正方形ABCD四個頂點的距離相等的點必在直線PE上，設(shè)外接球球心為O，半徑為R，則OP=OB=R，推導(dǎo)出O、E重合，由此能求出該四棱錐的外接球的體積．

解答 解：如圖，點E是正方形ABCD的中心，
PE⊥平面ABCD，
由題意到正方形ABCD四個頂點的距離相等的點必在直線PE上，
設(shè)外接球球心為O，半徑為R，
則OP=OB=R，
由BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BP=1，
得PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OBE中，OB²=OE²+BE²，OE=PE-R，OB=R，
故R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
解得R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即O、E重合，
∴該四棱錐的外接球的體積：
V=$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{3}=\frac{\sqrt{2}π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查四棱錐、球、空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．