Question

7．已知點(diǎn)C（t，$\frac{t}{2}$）（t∈R，t≠0）為圓心，且過(guò)原點(diǎn)O的圓與x軸交與點(diǎn)A，與y軸交與點(diǎn)B．
（Ⅰ）求證：△AOB的面積為定值；
（Ⅱ）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交與點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$），進(jìn)而表示出面積即可得到答案．
（Ⅱ）由OM=ON，CM=CN可得OC垂直平分線段MN，根據(jù)題意得到直線OC的方程是y=$\frac{1}{2}$x，所以t=2或t=-2，再分別驗(yàn)證t的數(shù)值是否正確，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：由圓C過(guò)原點(diǎn)O，且丨OC丨²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$．
∴圓C的方程是（x-t）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$．
令x=0，得y₁=0，y₂=$\frac{4}{t}$；令y=0，得x₁=0，x₂=2t．
∴△AOB的面積為定值S，S=$\frac{1}{2}$丨OA丨丨OB丨=$\frac{1}{2}$丨$\frac{4}{t}$丨丨2t丨=4，
△AOB的面積為定值4；
（Ⅱ）∵丨OM丨=丨ON丨，丨CM丨=丨CN丨，
∴OC垂直平分線段MN．
∵k_MN=-2，k_OC=$\frac{1}{2}$，
∴直線OC的方程是y=$\frac{1}{2}$x．
又因?yàn)閳A心C（t，$\frac{2}{t}$），
∴$\frac{2}{t}$=$\frac{1}{2}$t，解得：t=2或t=-2．
①當(dāng)t=2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），丨OC丨=$\sqrt{5}$，
此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{5}$，圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn)．
②當(dāng)t=-2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（-2，-1），丨OC丨=$\sqrt{5}$，
此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=$\frac{9}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合題意舍去．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓與直線的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，并且熟練掌握運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．