分析 通過觀察2f(x)+xf′(x)>x2,不等式的左邊像一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),又直接寫不出來,對(duì)該不等式兩邊同乘以x,由x<0,可得到2xf(x)+x2f′(x)<x3,而這時(shí)不等式的左邊是(x2f(x))′,所以構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2f(x),則能判斷該函數(shù)在(-∞,0)上是減函數(shù).這時(shí)F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(xiàn)(-3)=9f(-3),而到這會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式(x+2016)2f(x+2016)-9f(-3)>0可以變成F(x+2016)>F(-3),從而解這個(gè)不等式便可,而這個(gè)不等式利用F(x)的單調(diào)性可以求解.
解答 解:由2f(x)+xf′(x)>x2,(x<0);
得:2xf(x)+x2f′(x)<x3
即[x2f(x)]′<x3<0;
令F(x)=x2f(x);
則當(dāng)x<0時(shí),F(xiàn)'(x)<0,即F(x)在(-∞,0)上是減函數(shù);
∴F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(xiàn)(-3)=9f(-3);
即不等式等價(jià)為F(x+2016)-F(-3)>0;
∵F(x)在(-∞,0)是減函數(shù);
∴由F(x+2016)>F(-3)得,x+2016<-3,
∴x<-2019;
故答案為:(-∞,-2019).
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的求法,而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
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A. | 8π | B. | 12π | C. | 16π | D. | 32π |
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A. | (-1,+∞) | B. | (0,+∞) | C. | (e,+∞) | D. | ($\frac{1}{e}$,+∞) |
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x | 2 | 3 | 5 | 6 |
y | 3 | 5 | 7 | 9 |
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推銷員 | A | B | C | D | E |
工作年限x(萬元) | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
年推銷金額y(萬元) | 3 | 3.5 | 4 | 6.5 | 8 |
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A. | a3>b3 | B. | a2>b2 | C. | $\frac{1}{a}$>$\frac{1}$ | D. | a2>ab |
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