Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）為（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0的解集為（-∞，-2019）．

Answer 1

分析 通過觀察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左邊像一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，又直接寫不出來，對(duì)該不等式兩邊同乘以x，由x＜0，可得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而這時(shí)不等式的左邊是（x²f（x））′，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），則能判斷該函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)．這時(shí)F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F(xiàn)（-3）=9f（-3），而到這會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0可以變成F（x+2016）＞F（-3），從而解這個(gè)不等式便可，而這個(gè)不等式利用F（x）的單調(diào)性可以求解．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
則當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
∴F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F(xiàn)（-3）=9f（-3）；
即不等式等價(jià)為F（x+2016）-F（-3）＞0；
∵F（x）在（-∞，0）是減函數(shù)；
∴由F（x+2016）＞F（-3）得，x+2016＜-3，
∴x＜-2019；
故答案為：（-∞，-2019）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的求法，而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．