20.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F(xiàn),求∠EDF的最小值.

分析 (Ⅰ)首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點($\sqrt{2}$,1),然后結合離心率可得橢圓方程;
(Ⅱ)可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值,結合題目信息可求得D、N坐標及⊙N半徑,進而將DN長度表示出來,可求∠EDF最小值.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,a2=2b2,
∵橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2$\sqrt{2}$,
∴橢圓C過點($\sqrt{2}$,1),
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1,
∴b2=2,a2=4,
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
(Ⅱ)設A,B的橫坐標為x1,x2,
則A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),D($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{k}{2}({x}_{1}+{x}_{2})$+m),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
∴x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$,
∴D(-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$,$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$),
∵M(0,m),則N(0,-m),
∴⊙N的半徑為|m|,
|DN|=$\sqrt{(\frac{m}{1+2{k}^{2}}+m)^{2}+(\frac{-2km}{1+2{k}^{2}})^{2}}$=$\frac{|2m|}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}$,
設∠EDF=α,
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{EN}{DN}$=$\frac{ON}{DN}$=$\frac{m}{\frac{2m}{1+2{k}^{2}}\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$,
令y=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$,則y′=$\frac{1}{2}$$\frac{k(4{k}^{2}+1)}{\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}({k}^{4}+3{k}^{2}+1)}$,
當k=0時,sin$\frac{α}{2}$取得最小值,最小值為$\frac{1}{2}$.
∴∠EDF的最小值是60°.

點評 本題考查圓錐曲線的最值問題,重要的是能將角度的最小值進行轉(zhuǎn)化求解.

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(1)請根據(jù)題意,將2×2列聯(lián)表補充完整;
優(yōu)秀非優(yōu)秀總計
男生
女生
總計50
(2)據(jù)此列聯(lián)表判斷,是否有90%的把握認為該學科成績與性別有關?
附:x2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù)當x2≤2.706時,無充分證據(jù)判定變量A,B有關聯(lián),可以認為兩變量無關聯(lián);
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