分析 (Ⅰ)首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點($\sqrt{2}$,1),然后結合離心率可得橢圓方程;
(Ⅱ)可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值,結合題目信息可求得D、N坐標及⊙N半徑,進而將DN長度表示出來,可求∠EDF最小值.
解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,a2=2b2,
∵橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2$\sqrt{2}$,
∴橢圓C過點($\sqrt{2}$,1),
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1,
∴b2=2,a2=4,
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
(Ⅱ)設A,B的橫坐標為x1,x2,
則A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),D($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{k}{2}({x}_{1}+{x}_{2})$+m),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
∴x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$,
∴D(-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$,$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$),
∵M(0,m),則N(0,-m),
∴⊙N的半徑為|m|,
|DN|=$\sqrt{(\frac{m}{1+2{k}^{2}}+m)^{2}+(\frac{-2km}{1+2{k}^{2}})^{2}}$=$\frac{|2m|}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}$,
設∠EDF=α,
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{EN}{DN}$=$\frac{ON}{DN}$=$\frac{m}{\frac{2m}{1+2{k}^{2}}\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$,
令y=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$,則y′=$\frac{1}{2}$$\frac{k(4{k}^{2}+1)}{\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}({k}^{4}+3{k}^{2}+1)}$,
當k=0時,sin$\frac{α}{2}$取得最小值,最小值為$\frac{1}{2}$.
∴∠EDF的最小值是60°.
點評 本題考查圓錐曲線的最值問題,重要的是能將角度的最小值進行轉(zhuǎn)化求解.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 | 50 |
參考數(shù)據(jù) | 當x2≤2.706時,無充分證據(jù)判定變量A,B有關聯(lián),可以認為兩變量無關聯(lián); |
當x2>2.706時,有90%的把握判定變量A,B有關聯(lián); | |
當x2>3.841時,有95%的把握判定變量A,B有關聯(lián); | |
當x2>6.635時,有99%的把握判定變量A,B有關聯(lián). |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | p2,p3 | B. | p1,p2 | C. | p2,p4 | D. | p3,p4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (0,1]∪[9,+∞) | B. | (0,$\sqrt{3}$]∪[9,+∞) | C. | (0,1]∪[4,+∞) | D. | (0,$\sqrt{3}$]∪[4,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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