Question

1．已知含有n個(gè)元素的正整數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性質(zhì)P：對(duì)任意不大于S（A）（其中S（A）=a₁+a₂+…+a_n）的正整數(shù)k，存在數(shù)集A的一個(gè)子集，使得該子集所有元素的和等于k．
（Ⅰ）寫(xiě)出a₁，a₂的值；
（Ⅱ）證明：“a₁，a₂，…，a_n成等差數(shù)列”的充要條件是“S（A）=$\frac{n（n+1）}{2}$”；
（Ⅲ）若S（A）=2017，求當(dāng)n取最小值時(shí)a_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由a_n為正整數(shù)，則a₁=1，a₂=2．a(chǎn)₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，即可求得a₁=1，a₂=2；
（Ⅱ）先證明充分性，由a₁，a₂，…，a_n成等差數(shù)列，則a_n=n，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得S（A）=$\frac{n（n+1）}{2}$”；再證明必要性，由$S（A）={a_1}+{a_2}+…+{a_n}≥1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，則a_m=m（m=1，2，…，n），故a₁，a₂，…，a_n為等差數(shù)列；
（Ⅲ）由題意可知：$?{a_m}≤{2^{m-1}}$（m=1，2，…，n）．因此$2017={a_1}+{a_2}+…+{a_n}≤1+2+…+{2^{n-1}}={2^n}-1$，即2ⁿ≥2018，所以n≥11．分類，由集合的性質(zhì)，分類，即可求得當(dāng)n取最小值11時(shí)，a_n的最大值為1009．

解答 解：（Ⅰ）由集合A={a₁，a₂，…，a_n}，}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3），
由a_n為正整數(shù)，則a₁=1，a₂=2．
（Ⅱ）先證必要性：
因?yàn)閍₁=1，a₂=2，又a₁，a₂，…，a_n成等差數(shù)列，故a_n=n，所以$S（A）=\frac{n（n+1）}{2}$；
再證充分性：
因?yàn)閍₁＜a₂＜…＜a_n，a₁，a₂，…，a_n為正整數(shù)數(shù)列，故有a₁=1，a₂=2，a₃≥3，a₄≥4，…，a_n≥n，
所以$S（A）={a_1}+{a_2}+…+{a_n}≥1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
又$S（A）=\frac{n（n+1）}{2}$，故a_m=m（m=1，2，…，n），故a₁，a₂，…，a_n為等差數(shù)列．
（Ⅲ）先證明$?{a_m}≤{2^{m-1}}$（m=1，2，…，n）．
假設(shè)存在${a_p}＞{2^{p-1}}$，且p為最小的正整數(shù)．
依題意p≥3，則a₁+a₂+…+a_p-1≤1+2+…+2^p-2=2^p-1-1，又因?yàn)閍₁＜a₂＜…＜a_n，
故當(dāng)k∈（2^p-1-1，a_p）時(shí)，k不能等于集合A的任何一個(gè)子集所有元素的和．
故假設(shè)不成立，即$?{a_m}≤{2^{m-1}}$（m=1，2，…，n）成立．
因此$2017={a_1}+{a_2}+…+{a_n}≤1+2+…+{2^{n-1}}={2^n}-1$，
即2ⁿ≥2018，所以n≥11．
因?yàn)镾=2017，則a₁+a₂+…+a_n-1=2017-a_n，
若2017-a_n＜a_n-1時(shí)，則當(dāng)k∈（2017-a_n，a_n）時(shí)，集合A中不可能存在若干不同元素的和為k，
故2017-a_n≥a_n-1，即a_n≤1009．
此時(shí)可構(gòu)造集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}．
因?yàn)楫?dāng)k∈{2，2+1}時(shí)，k可以等于集合{1，2}中若干個(gè)元素的和；
故當(dāng)k∈{2²，2²+1，2²+2，2²+3}時(shí)，k可以等于集合{1，2，2²}中若干不同元素的和；
…
故當(dāng)k∈{2⁸，2⁸+1，2⁸+2，…，2⁸+255}時(shí)，k可以等于集合{1，2，…，2⁸}中若干不同元素的和；
故當(dāng)k∈{497+3，497+4，…，497+511}時(shí)，k可以等于集合{1，2，…，2⁸，497}中若干不同元素的和；
故當(dāng)k∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}時(shí)，k可以等于集合{1，2，…，2⁸，497，1009}中若干不同元素的和，
所以集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}滿足題設(shè)，
所以當(dāng)n取最小值11時(shí)，a_n的最大值為1009．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)，突出考查反證法的應(yīng)用，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，考查構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于難題．