Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A，B兩點，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點，設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）若$λ=\frac{3}{4}$，求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若△PF₁F₂為等腰三角形，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A$（-\frac{{a}^{2}}{c}，0）$，B（0，a）兩點，根據(jù)$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，可得M$（-\frac{{a}^{2}}{4c}，\frac{3a}{4}）$，代入橢圓方程即可得出．
（II）若△PF₁F₂為等腰三角形，P是點F₁關于直線l的對稱點，可得：|AF₁|=|BF₁|，即$-c-（-\frac{{a}^{2}}{c}）$=$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$，可得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，可得M$（\frac{（λ-1）{a}^{2}}{c}，λa）$，代入橢圓方程解出即可得出．

解答 解：（I）直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A$（-\frac{a}{e}，0）$即$（-\frac{{a}^{2}}{c}，0）$，B（0，a）兩點，
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，∴M$（-\frac{{a}^{2}}{4c}，\frac{3a}{4}）$，
代入橢圓方程可得：$\frac{{a}^{2}}{16{c}^{2}}$+$\frac{9{a}^{2}}{16^{2}}$=1，b²=a²-c²，化為：（4e²-1）²=0，解得e=$\frac{1}{2}$．
（II）若△PF₁F₂為等腰三角形，P是點F₁關于直線l的對稱點，
∴|PA|=|AF₁|，|PB|=|BF₁|，|PA|=|PB|，
∴|AF₁|=|BF₁|，
∴$-c-（-\frac{{a}^{2}}{c}）$=$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$，
化為：a²=3c²，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{1}{3}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，解得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，
∴M$（\frac{（λ-1）{a}^{2}}{c}，λa）$，
代入橢圓方程可得：$\frac{{a}^{2}（λ-1）^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}{a}^{2}}{^{2}}$=1，
∴3（λ-1）²+$\frac{3{λ}^{2}}{2}$=1，
化為：（3λ-2）²=0，
解得$λ=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓及圓相交問題、垂直平分線的性質、向量的坐標運算性質、等腰三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．