Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，過(guò)點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（2）若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，探索直線AE與x軸的相交點(diǎn)是否為定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到所求范圍；
（2）由對(duì)稱求得E的坐標(biāo)，直線AE的方程，由A，B滿足直線方程，再令y=0，代入韋達(dá)定理，即可得到定點(diǎn)（1，0）．

解答 解：（1）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
代入橢圓方程，消去y得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$①，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²=25-$\frac{87}{{3+4{k^2}}}$，
由-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，可得25-$\frac{87}{{3+4{k^2}}}$∈[-4，$\frac{13}{4}$），
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[-4，$\frac{13}{4}$）；
（2）直線與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．
由B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₂，-y₂），
直線AE的方程為y-y₁=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$（x-x₁），
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
令y=0，代入①得x=$\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{2{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-8}}=1$．
可得直線與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的范圍，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用直線方程，化簡(jiǎn)整理，屬于中檔題．