Question

18．若實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{8}{x+2y}$=1，則x+y的最小值為$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{8}{x+2y}$=1，可得x+y=$\frac{1}{3}（x-y）+\frac{2}{3}（x+2y）$=$\frac{1}{3}[（x-y）+2（x+2y）]$$（\frac{1}{x-y}+\frac{8}{x+2y}）$=$\frac{1}{3}（17+\frac{2（x+2y）}{x-y}+\frac{8（x-y）}{x+2y}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{8}{x+2y}$=1，
則x+y=$\frac{1}{3}（x-y）+\frac{2}{3}（x+2y）$=$\frac{1}{3}[（x-y）+2（x+2y）]$$（\frac{1}{x-y}+\frac{8}{x+2y}）$=$\frac{1}{3}（17+\frac{2（x+2y）}{x-y}+\frac{8（x-y）}{x+2y}）$≥$\frac{1}{3}（17+2×2\sqrt{\frac{x+2y}{x-y}×\frac{4（x-y）}{x+2y}}）$=$\frac{25}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)y=$\frac{5}{3}$，x=$\frac{20}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{25}{3}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．