Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的$\sqrt{2}$倍，直線(xiàn)y=-x+1與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 由已知可得a²=2b²，化橢圓方程為x²+2y²-2b²=0，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式列式求得b²，則橢圓方程可求．

解答 解：由題意a²=2b²，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，即x²+2y²-2b²=0
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2^{2}=0}\end{array}\right.$，得3x²-4x+2-2b²=0．
△=16-12（2-2b²）=24b²-8＞0，得$^{2}＞\frac{1}{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2-2^{2}}{3}$．
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{24{b^2}-8}}}{3}$，則$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{3{b^2}-1}}}{3}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$．
解得b²=2．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬中檔題．