12.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+3|
(1)求不等式f(x)<3的解集;
(2)若不等式f(x)<3+a對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值.

分析 (1)通過(guò)討論x的范圍,求出各個(gè)區(qū)間上的x的范圍,取并集即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|x-2|-|x+3|<a+3,根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得到a+3>5,解出即可.

解答 解:(1)由|x-2|-|x+3|<3,當(dāng)x≤-3時(shí),2-x+x+3<3,解集為空集;
當(dāng)-3<x<2時(shí),2-x-(x+3)<3,解得:-2<x<2;
當(dāng)x≥2時(shí),x-2-(x+3)<3,解得:x≥2.
綜上所述,所求不等式解集為{x|x>-2}.
(2)不等式f(x)<3+a等價(jià)于|x-2|-|x+3|<a+3,
∵|x-2|-|x+3|≤|x-2-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)x≤-3時(shí)取等號(hào)),
∴a+3>5,即a>2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

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