Question

8．已知函數(shù)f（x）=|（ax-1）（x-1）|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞1時，若函數(shù)g（x）=f（x）-|x-a|至少有三個零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)0≤a≤1時，若對任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，利用配方法求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a＞1時，函數(shù)g（x）=f（x）-|x-a|至少有三個零點，轉(zhuǎn)化為直線y=a-x與y=-（ax-1）（x-1）至少有1個交點；
（3）對任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）_max．分類討論，求最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)f（x）=|（$\frac{1}{3}$x-1）（x-1）|=|$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{1}{3}$|，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1），（2，3）；單調(diào)增區(qū)間是（1，2），（3，+∞）；
（2）∵a＞1時，函數(shù)g（x）=f（x）-|x-a|至少有三個零點，
∴直線y=a-x與y=-（ax-1）（x-1）至少有1個交點，
令-（ax-1）（x-1）=a-x，即ax²-（a+2）x+1+a=0，
∴△=（a+2）²-4a（1+a）≥0，即3a²-4≤0，
∵a＞1，∴1＜a≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）∵對任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）恒成立，
∴對任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）_max．
a=0時，f（x）=|x-1|，f（x）_max=1，∴m≥1；
a=1時，f（x）=（x-1）²，f（x）_max=1，∴m≥1
0＜a＜$\frac{1}{3}$時，對稱軸x=$\frac{a+1}{2a}$≥2，∴函數(shù)的最大值在0處取得，∴m≥1；
$\frac{1}{3}$≤a≤1時，對稱軸x=$\frac{a+1}{2a}$＜2，f（$\frac{a+1}{2a}$）=$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$∈[0，$\frac{1}{3}$]，∴m≥1．
綜上所述，m≥1．

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的零點，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．