Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（-1）=0，對(duì)于任意x都滿足1-x≤f（x）≤x²-x恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在給出的不等式中，首先令x-1=x²-x，根據(jù)這個(gè)條件可求出一個(gè)f（x）的函數(shù)值，聯(lián)立f（-1）=0，即可求出a+c與b的關(guān)系式；由給出的不等式，還可以得到的條件是：對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f（x）-1+x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c-1≥0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，觀察這個(gè)不等式，只有當(dāng)a＞0，且△=（b-1）²-4a（c+1）≤0時(shí)，才滿足上述條件，求出a、c的值；由此得解．

解答： 解：當(dāng)x-1=x²-x，即x=1時(shí)，0≤f（1）≤0，
則f（1）=0；
聯(lián)立f（-1）=0，有：

a+b+c=0 a-b+c=0

，
解得：a+c=b=0；
∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f（x）-x+1≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c+1≥0（a≠0），對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴a＞0且△=（b-1）²-4a（c+1）≤0，即a＞0且1-4a（c+1）≤0，
∵a+c=0，即c=-a，則4a（-a+1）≥1，即（2a-1）²≤0，但（2a-1）²≥0，則有2a-1=0，
即有a=

1

2

，c=-

1

2

，
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

1

2

x²-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是二次函數(shù)解析式的求法，題中還涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是從不等式中找出f（x）的一個(gè)定值以及抓住不等式恒成立的條件．