15.甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為$\frac{1}{3}$,乙每次投籃投中的概率為$\frac{1}{2}$,且各次投籃互不影響.
(1)求甲獲勝的概率;
(2)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)ξ的分布列
(3)ξ的期望和方差.

分析 (1)對(duì)甲投籃次數(shù)討論,得出甲獲勝的概率;
(2)利用相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算各種情況的概率,得出分布列;
(3)代入公式計(jì)算.

解答 解:設(shè)事件A表示甲投籃命中,事件B表示乙投籃命中,則P(A)=$\frac{1}{3}$,P(B)=$\frac{1}{2}$.
(1)若甲投籃一次,獲勝概率為P(A)=$\frac{1}{3}$,
若甲投籃兩次,獲勝概率為P($\overline{A}$)P($\overline{B}$)P(A)=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$,
若甲投籃三次,獲勝概率為P($\overline{A}$)2P($\overline{B}$)2P(A)=($\frac{2}{3}$)2×($\frac{1}{2}$)2×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{27}$,
∴甲獲勝的概率為$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}$=$\frac{13}{27}$.
(2)ξ的可能取值為1,2,3,
則P(ξ=1)=P(A)+P($\overline{A}$)P(B)=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$;
P(ξ=2)=P($\overline{A}$)P($\overline{B}$)P(A)+P($\overline{A}$)2P($\overline{B}$)P(B)=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+($\frac{2}{3}$)2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$,
P(ξ=3)=P($\overline{A}$)2P($\overline{B}$)2=($\frac{2}{3}$)2×($\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{9}$.
∴ξ的分布列為:

 ξ 1 2 3
 P $\frac{2}{3}$$\frac{2}{9}$  $\frac{1}{9}$
(3)E(ξ)=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{9}$.
D(ξ)=(1-$\frac{13}{9}$)2×$\frac{2}{3}$+(2-$\frac{13}{9}$)2×$\frac{2}{9}$+(3-$\frac{13}{9}$)2×$\frac{1}{9}$=$\frac{38}{81}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列,屬于中檔題.

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