Question

12．已知函數(shù)$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx\;（a∈R）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）設函數(shù)$g（x）=-\frac{a}{x}$．若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論①當a≤0時②當0＜a＜1時③當a≥1時，從而得出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）將問題至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，轉化為否定是?x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其定義域為x＞0
∴f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{a（1+{x}^{2}）-2x}{{x}^{2}}$，
令a（1+x²）-2x=ax²-2x+a=0，
∴△=4-4a²≥0，解得：-1≤a≤1
∵x＞0，∴0＜a≤1時f′（x）=0有解，
①當a≤0時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在定義域內單調遞減；
②當0＜a＜1時，令a（1+x²）-2x=0，解得：x=$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，
x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$）時，f′（x）＞0，x∈（$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，
③當a≥1時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在定義域內單調增，
綜上：當a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在定義域內單調遞減，
當0＜a＜1時，x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$）時，函數(shù)f（x）單調遞增；，x∈（$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，+∞）時，函數(shù)f（x）單調遞減；
當a≥1時，函數(shù)f（x）在定義域內單調增．
（2）至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
否定是?x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，
∵f（x）-g（x）=ax-2lnx，令ax-lnx≤0，解得：a≤$\frac{2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$（x∈[1，e]），
∴h′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在[1，e]遞增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
∴a≤0，
故若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，則只需a＞0即可
實數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道綜合題．