Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線y=x²-8x+2與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)圓C圓心為C，點D坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），試在直線x-y-6=0上確定一點P，使得|PC|+|PD|最小，求此時點P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出曲線y=x²-8x+2與坐標(biāo)軸的交點，利用交點都在圓C上，即可求得圓C的方程．
（2）求出圓C圓心為C（4，1.5）關(guān)于直線x-y-6=0的對稱點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（4，b）
令x=0，則y=2；令y=0，則x=4±$\sqrt{14}$
∴（4-0）²+（b-2）²=（±$\sqrt{14}$）²+b²，
∴b=1.5
∴（4-0）²+（b-2）²=16.25
∴圓C的方程為（x-4）²+（y-1.5）²=16.25，；
（2）圓C圓心為C（4，1.5）關(guān)于直線x-y-6=0的對稱點的坐標(biāo)為（a，b），則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1.5}{a-4}•1=-1}\\{\frac{4+a}{2}-\frac{1.5+b}{2}-6=0}\end{array}\right.$，∴a=7.5，b=-2，|PC|+|PD|最小為$\frac{\sqrt{146}}{2}$
過（7.5，-2），（2，$\frac{1}{2}$）的直線方程為10x+22y-31=0，
與x-y-6=0聯(lián)立，得P（$\frac{163}{33}$，-$\frac{35}{33}$）．

點評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．