Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）lnx+b．
（1）當(dāng)a=0時，討論函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）上的零點個數(shù)；
（2）當(dāng)a＞1且函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值和0的關(guān)系分類討論即可得到函數(shù)零點的個數(shù)，
（2）函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值時，則函數(shù)f（x）在（1，e）上不單調(diào)，先求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{x-a}{x}$，得到函數(shù)在（1，e）上單調(diào)遞增，
即可以得到$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（e）＞0}\end{array}\right.$，解得即可

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=xlnx+b，
∴f′（x）=1+lnx≥0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+b，
當(dāng)-$\frac{1}{e}$+b≤0時，即b≥$\frac{1}{e}$時，函數(shù)有唯一的零點，
當(dāng)-$\frac{1}{e}$+b＞0時，即b=$\frac{1}{e}$，函數(shù)沒有零點，
（2）∵f′（x）=lnx+$\frac{x-a}{x}$，x∈（1，e）
令g（x）=lnx+$\frac{x-a}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（1）=1-a，g（x）＜g（e）=2-$\frac{a}{e}$，
∵函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=1-a＜0}\\{g（e）=2-\frac{a}{e}＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜2e，
故a的取值范圍為（1，2e）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系以及函零點的個數(shù)問題，考查了學(xué)生分析問題，解決問題的能力，以及運算、分類討論、轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題