Question

4．已知一四面體的三組對邊分別相等，且長度依次為5、$\sqrt{34}$、$\sqrt{41}$．
（1）求該四面體的體積；
（2）求該四面體外接球的表面積．

Answer 1

分析 由棱錐的對邊相等可知四面體為長方體切去4個小棱錐得到的，求出長方體的棱長即可得出四面體的體積和外接球的表面積．

解答 解：（1）∵四面體的三組對邊分別相等，
∴四面體為某一長方體的六條面對角線組成的三棱錐，
設長方體的棱長為a，b，c，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=5}\\{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{34}}\\{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{41}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴四面體的體積V=abc-$\frac{1}{6}$abc×4=$\frac{1}{3}$abc=20．
（2）由（1）可知四面體的外接球為長方體的外接球，
外接球直徑為長方體的體對角線長$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴外接球的半徑為r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴外接球的表面積為S=4πr²=50π．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，體積與外接球表面積計算，屬于中檔題．