Question

4．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與直線y=m（x-2）交于兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）且P與Q分別在雙曲線的左、右分支上．
（1）證明x₁及x₂滿足方程（m²-3）x²-4m²x+（4m²+3）=0；
（2）以m表示x₁+x₂及x₁x₂；
（3）求m的取值范圍；
（4）設O為原點，若∠POQ為直角，證明8x${\;}_{1}^{2}$x${\;}_{2}^{2}$-9（x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$）+9=0，并由此求m的值．

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入雙曲線的方程，消去y，整理即可得到結(jié)論；
（2）運用韋達定理，即可得到所求；
（3）由方程（*）有兩個異號的根，可得△＞0，x₁x₂＜0，且3-m²≠0，解不等式即可得到所求范圍；
（4）由∠POQ為直角，可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，即有x₁x₂+y₁y₂=0，代入韋達定理，整理，解方程可得m的值，化簡韋達定理，代入所求證的等式，計算即可得到所求值為0．

解答 解：（1）證明：將直線y=m（x-2）代入雙曲線方程3x²-y²=3，
可得3x²-m²（x-2）²=3，
即有（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0，（*）
由題意可得x₁及x₂滿足方程（m²-3）x²-4m²x+（4m²+3）=0；
（2）由韋達定理可得x₁+x₂=$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}+3}{{m}^{2}-3}$；
（3）由方程（*）有兩個異號的根，
可得△＞0，x₁x₂＜0，且3-m²≠0，
即有16m⁴-4（4m²+3）（m²-3）＞0，且$\frac{4{m}^{2}+3}{{m}^{2}-3}$＜0，
解得m²＜3，即有-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，
則m的取值范圍是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
（4）證明：由∠POQ為直角，可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
即有x₁x₂+y₁y₂=0，
即為x₁x₂+m²（x₁-2）（x₂-2）=（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²=0，
即有（1+m²）•$\frac{4{m}^{2}+3}{{m}^{2}-3}$-2m²•$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$+4m²=0，
化簡可得m²=$\frac{3}{5}$，解得m=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
即有x₁+x₂=-1，x₁x₂=-$\frac{9}{4}$，
則8x${\;}_{1}^{2}$x${\;}_{2}^{2}$-9（x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$）+9=8×$\frac{81}{16}$-9[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+9
=$\frac{81}{2}$-9×（1+$\frac{9}{2}$）+9=0．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和判別式大于0，同時考查兩直線垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．