Question

5．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁+x₂=2a時，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心．研究函數(shù)f（x）=x+sinπx-3的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值為（　�。�

• A． -4033
• B． 4033
• C． 8066
• D． -8066

Answer 1

分析 求出f（x）的對稱中心，根據(jù)函數(shù)的對稱性計算．

解答 解：f（1）=1-3=-2，
當x₁+x₂=2時，f（x₁）+f（x₂）=x₁+x₂+sinπx₁+sinπx₂-6=sinπx₁+sin（2π-πx₁）-4=sinπx₁-sinπx₁-4=-4，
∴f（x）的對稱中心為（1，-2），
∵$\frac{1}{2017}$+$\frac{4033}{2017}$=$\frac{2}{2017}+\frac{4032}{2017}$=…=$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$=2，
∴$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$=2016×（-4）+（-2）=-8066．
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．