Question

9．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在曲線(xiàn)C上求一點(diǎn)D，使它到直線(xiàn)l的距離最短．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ．把ρ²=x²+y²，代入可得C的直角坐標(biāo)方程．由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去t得直線(xiàn)l的普通方程．
（Ⅱ）由曲線(xiàn)C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）為圓心，1為半徑的圓，點(diǎn)D在曲線(xiàn)C上，可設(shè)點(diǎn)D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離d及其最小值．

解答 解：（Ⅰ）由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ．
∴曲線(xiàn)C的普通方程為x²+y²-2y=0，配方為x²+（y-1）²=1，
∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），
消去t得直線(xiàn)l的普通方程為$\sqrt{3}$x+y-5=0．
（Ⅱ）∵曲線(xiàn)C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）為圓心，1為半徑的圓，
∵點(diǎn)D在曲線(xiàn)C上，∴可設(shè)點(diǎn)D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），
∴點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosφ+sinφ-4|}{2}$=2-sin（φ+$\frac{π}{3}$），
∵φ∈[0，2π），當(dāng)φ=$\frac{π}{6}$時(shí)，d_min=1，
此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．