Question

20．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）經過橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）的左焦點F．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，求|FA|×|FB|取最小值時，直線l的傾斜角α．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，可得左焦點F（-c，0），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）化為普通方程：y=（x-m）tanα，經過定點（m，0），可得m．
（2）將直線的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）代入橢圓C的普通方程中整理得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用根與系數(shù)的關系及其|FA|×|FB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，可得左焦點F（-1，0），
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）化為普通方程：y=（x-m）tanα，
經過定點（m，0），因此m=-1．
（2）將直線的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）
代入橢圓C的普通方程中整理得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
設點A，B在直線參數(shù)方程中對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
則|FA|×|FB|=|t₁t₂|=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，當sinα=±1時，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$，
∵α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{2}$．
∴|FA|•|FB|取最小值時，直線l的傾斜角α=$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線經過定點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．