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4.已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2-(1+a)x.
(1)當(dāng)a>1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)利用(1)中函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)在x=1處取得最小值,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=xax1x(x>0),
a>1時(shí),令f′(x)<0,可得1<x<a,∵x>0,∴1<x<a;
令f′(x)>0,可得x>a或x<1,∵x>0,∴0<x<1或x>a;
∴函數(shù)f(x)在(0,1),(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a)上單調(diào)遞減,
∴f(x)極大值=f(1)=-12-a,f(x)極小值=f(a)=alna-12a2-a;
(2)①a≤0時(shí),令f′(x)<0,可得x<1,∵x>0,∴0<x<1;
令f′(x)>0,可得x>1,∵x>0,∴x>1,
∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
∴函數(shù)在x=1處取得最小值,
∵函數(shù)f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意的x恒成立,
∴f(1)=-12-a≥0,解得:a≤-12
②a≥0時(shí),f(1)=-12-a<0,舍去;
綜上,a≤-12

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

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