Question

10．在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，點(diǎn)M，N在線段BC上．
（1）若AM=$\sqrt{7}$，求BM的長(zhǎng)；
（2）若MN=1，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在△ABM中，利用余弦定理計(jì)算BM；
（2）以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)M（t，0），N（t+1，0），用t表示出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的函數(shù)，利用t的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：（1）在△ABM中，由余弦定理得：
AM²=BM²+AB²-$\sqrt{3}$AB•BM，
即7=BM²+12-$\sqrt{3}•2\sqrt{3}•BM$，解得：BM=1或BM=5．
（2）取BC得中點(diǎn)O，連接AO，
以BC，OA為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，$\sqrt{3}$），B（-3，0），C（3，0），
設(shè)M（t，0），N（t+1，0），則$\overrightarrow{AM}$=（t，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AN}$=（t+1，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=t²+t+3=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$（-3≤t≤2），
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值$\frac{11}{4}$，當(dāng)t=2時(shí)，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最大值9．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍是[$\frac{11}{4}$，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解三角形，屬于中檔題．