Question

19．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（-\sqrt{3}，1）$，則對(duì)函數(shù)f（x）=sinαcos2x+cosαcos（2x-$\frac{π}{2}$）的表述正確的是（　　）

• A． 對(duì)稱中心為$（\frac{π}{3}，0）$
• B． 函數(shù)y=sin2x向左平移$\frac{5π}{6}$個(gè)單位可得到f（x）
• C． f（x）在區(qū)間$（-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}）$上遞增
• D． 方程f（x）=0在區(qū)間$[-\frac{5π}{6}，0]$上有三個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 由題意：角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（-\sqrt{3}，1）$，求出sinα，cosα的值，帶入化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)三角函的性質(zhì)對(duì)下列各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案．

解答 解：由題意：角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（-\sqrt{3}，1）$，
那么：sinα=$\frac{1}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
則：函數(shù)$f（x）=sinαcos2x+cosαcos（2x-\frac{π}{2}）$
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
對(duì)稱中為（$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，0）（k∈Z），考查A不對(duì)．
函數(shù)y=sin2x向左平移$\frac{5π}{6}$個(gè)單位得到：sin2（x$+\frac{5π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），故B不對(duì)．
函數(shù)f（x）在2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，（k∈Z）是增函數(shù)，考查C對(duì)．
如果x∈$[-\frac{5π}{6}，0]$上，則-$\frac{4π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，（k∈Z），方程f（x）=0只有1個(gè)零點(diǎn)．D不對(duì)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算，性質(zhì)的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．